Ein bestimmtes Integral numerisch annähern
Ein bestimmtes Integral beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Bereiche unterhalb der Achse tragen negativ zum Integral bei. Das Ergebnis ist daher nicht immer die geometrische Gesamtfläche.
So gibst du die Werte ein
Schreibe die Funktion mit x, expliziten Multiplikationszeichen und Klammern. Gib eine endliche untere und obere Grenze ein und wähle die absolute Rechentoleranz. Für x^2 von 0 bis 1 ist die erwartete Näherung 0,333333…. Trigonometrische Funktionen verwenden das Bogenmaß, log und ln den natürlichen Logarithmus. Die Funktion muss im gesamten Intervall reell, stetig und beschränkt sein. Ein Ausdruck, dessen Definitionsbereich nicht sicher geprüft werden kann, kann vorsorglich abgelehnt werden.
Formel und Rechenweg
Das Integral von a bis b wird numerisch durch adaptive Unterteilung angenähert. Die Rechnung endet nur mit einem Ergebnis, wenn die verwendeten Konvergenzprüfungen erfüllt sind.
Ein Beispiel aus der Praxis
Das Integral von x² zwischen 0 und 1 beträgt exakt 1/3. Das Integral von x zwischen −1 und 1 ist null, weil sich positive und negative Beiträge aufheben.
Werte zum Nachschlagen
| Ausgangswert / Begriff | Ergebnis / Bedeutung |
|---|---|
| ∫₀¹ x² dx | 1/3 |
| ∫₀¹ 2*x dx | 1 |
| ∫₋₁¹ x dx | 0 |
Darauf solltest du achten
Der Rechner liefert eine numerische Näherung und keine allgemeine symbolische Stammfunktion. Unstetigkeiten, Pole oder stark oszillierende Funktionen können numerische Verfahren überfordern. Uneigentliche Integrale, Polstellen und Hauptwerte gehören nicht zum unterstützten Modell. Dafür ist ein geeignetes Spezialverfahren erforderlich.
Einordnung für die Praxis
Die adaptive Simpson-Methode unterteilt das Intervall dort weiter, wo die Schätzungen noch nicht ausreichend übereinstimmen. Eine kleinere Toleranz verlangt eine engere numerische Prüfung, garantiert aber nicht pauschal beliebig viele korrekte Dezimalstellen. Besonders problematisch sind unerkannte schmale Spitzen und schnelle Schwingungen. Für eine Kontrolle kannst du ein einfaches Integral mit bekanntem Ergebnis verwenden oder ein zulässiges Intervall in zwei Teile aufteilen und die Ergebnisse addieren. Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Ein Integral von x über −1 bis 1 ergibt null, obwohl geometrisch zwei Dreiecksflächen vorhanden sind. Das Tool gibt keine allgemeine Stammfunktion an.
Passend dazu: Eine Funktion symbolisch ableiten und an einer Stelle auswerten.
Wie werden die Eingaben im Beispiel gelesen?
Die folgende Übersicht bezieht sich auf „Integralrechner“. Sie zeigt die Ausgangswerte des Formulars und die jeweils zugehörige Einheit oder Auswahl. Diese Werte sind ein nachvollziehbarer Ausgangspunkt für die Berechnung, keine Vorgabe für deinen persönlichen Fall.
| Eingabe | Beispiel und Bedeutung |
|---|---|
| Funktion f(x) | x^2 Mit * multiplizieren. Erlaubt: x, pi, e, + − * / ^, sin(x), cos(x), exp(x), log(x)/ln(x), sqrt(x). Winkel im Bogenmaß. |
| Untere Grenze a | 0 Die Einheit und Bezugsgröße stehen in der Feldbezeichnung. Dezimalwerte können mit Komma eingegeben werden. |
| Obere Grenze b | 1 Die Einheit und Bezugsgröße stehen in der Feldbezeichnung. Dezimalwerte können mit Komma eingegeben werden. |
| Absolute Rechentoleranz | 10⁻⁸ Ausgewählt ist „10⁻⁸“. Weitere Möglichkeiten: 10⁻⁶, 10⁻¹⁰. |
Was ändert sich bei anderen Eingaben?
Ausgehend von den oben genannten Startwerten verändert jede Zeile genau eine Eingabe. Alle übrigen Angaben bleiben unverändert. So lässt sich erkennen, welcher Teil des Ergebnisses auf diese Änderung zurückgeht. Die Varianten sind Rechenbeispiele und keine empfohlenen Zielwerte.
| Variante | Ergebnis |
|---|---|
| Unveränderte Startwerte | 0,333333333 |
| Untere Grenze a: 1 | 0 |
| Obere Grenze b: 1,2 | 0,576 |
Hinweis zu den Varianten: Die Fehleranzeige ist eine numerische Schätzung, kein mathematischer Beweis. Sehr starke Oszillation kann unentdeckt bleiben; dafür ein Fachverfahren verwenden.
Grenzen dieser Berechnung
Bestimmtes reelles Integral per adaptiver Simpson-Quadratur. Nur endliche Grenzen und stetige, beschränkte Funktionen. Keine uneigentlichen Integrale, Polstellen oder Hauptwerte. Konservative Intervallprüfung kann auch gültige, aber nicht sicher prüfbare Ausdrücke ablehnen. Vertauschte Grenzen wechseln das Vorzeichen.
Passende Erklärungen zum Weiterlesen
- Ableitung verstehen: lokale Steigung prüfen – Eine Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion. Für f(x) = x² gilt f′(x) = 2x, an x = 3 also die Steigung sechs. Funktionswert, Ableitungsfunktion und Ableitungswert an einer Stelle sind drei unterschiedliche Angaben.
- Bestimmtes Integral: Fläche und Vorzeichen – Ein bestimmtes Integral summiert die vorzeichenbehafteten Beiträge einer Funktion zwischen zwei Grenzen. Es kann null sein, obwohl geometrisch Fläche vorhanden ist. Der Rechner liefert eine numerische Näherung für geeignete endliche Intervalle, keine allgemeine Stammfunktion und keinen Konvergenzbeweis.